Thuần nhất ẩn bên dưới một không gian metric rời rạc là thuần nhất rời rạc, và topo ẩn bên dưới không gian thuần nhất rời rạc là topo rời rạc.Do đó, các khái niệm khác nhau của không gian rời rạc là tương thích với nhau.

Mặt khác, tôpô ẩn bên dưới một thuần nhất liên tục (hay một không gian metric liên tục) có thể là rời rạc; một ví dụ là không gian metric X := {1/n : n = 1,2,3,...} (với metric kế thừa từ đường thẳng thực và được định nghĩa bởi d(x,y) = |x − y|).

Hiển nhiên, đây không phải là một metric rời rạc; và không gian này cũng không đầy đủ và do đó không rời rạc như là một không gian thuần nhất.

Tuy nhiên, nó là rời rạc như là một không gian tôpô.Ta nói rằng X là rời rạc về mặt topo nhưng không rời rạc thuần nhất hay rời rạc theo metric.

Thêm nữa:

• Một không gian tôpô là rời rạc nếu và chỉ nếu các tập cô đơn là mở, đó là trường hợp nếu và chỉ nếu nó không chứa một điểm hội tụ nào cả.
• Các tập cô đơn tạo thành một cơ sở cho tôpô rời rạc.
• Một không gian thuần nhất X là rời rạc nếu và chỉ nếu đường chéo {(x,x) : x trong X} là một entourage.
• Tất cả các không gian tôpô rời rạc thỏa mãn từng tiên đề phân tách; đặc biệt là, mỗi không gian rời rạc là một không gian Hausdorff, nghĩa là, phân tách được.
• Một không gian rời rạc là compact nếu và chỉ nếu nó là một tập hữu hạn.
• Mọi không gian thuần nhất (hay metric) rời rạc là đầy đủ. Thật vậy, mọi dãy Cauchy đều là dãy hằng bắt đầu từ một phần tử nào đó.
• Gộp hai điều trên lại, mọi không gian thuần nhất (hay metric) rời rạc là bị chặn toàn diện nếu và chỉ nếu nó hữu hạn.
• Mọi không gian metric rời rạc là bị chặn.
• Mọi không gian rời rạc là đếm được bậc nhất, và một không gian rời rạc là đếm được bậc hai nếu và chỉ nếu nó đếm được.
• Mọi không gian rời rạc là hoàn toàn không liên thông.
• Mọi không gian rời rạc không trống là thuộc loại thứ hai (second category).

Bất kì một hàm nào từ một không gian rời rạc đến một không gian tô pô khác là liên tục, và bất kì hàm nào từ một không gian thuần nhất rời rạc sang một không gian thuần nhất khác là liên tục đều.

Nghĩa là, không gian rời rạc X là tự do trên tập hợp X trong phạm trù các không gian tô pô và các hàm liên tục hay là trong phạm trù các không gian thuần nhất và các hàm liên tục đều. Những điều này là ví dụ của một hiện tượng tổng quát hơn, trong đó các cấu trúc rời rạc thường tự do trên các tập hợp.

Với các không gian metric, mọi việc trở nên phức tạp hơn, bởi vì có một vài loại không gian metric, phụ thuộc vào cái gì được chọn cho các phép đồng phôi.

Đương nhiên các không gian metric rời rạc là tự do khi các đồng phôi đều là các hàm liên tục đều hay là các hàm liên tục, nhưng điều này không nói lên điều gì thú vị về các cấu trúc metric, chỉ là cấu trúc tô pô hay cấu trúc thuần nhất. Các loại thích hợp hơn với không gian metric có thể tìm thấy bằng cách giới hạn các đồng phôi trong các loại hàm liên tục Lipschitz hay là các hàm ngắn; tuy nhiên, những loại này không có các đối tượng tự do (trên nhiều hơn một phần tử).Tuy nhiên, không gian metric rời rạc là tự do trong thể loại các không gian metric bị chặn và các hàm liên tục Lipschitz, và nó tự do trong thể loại của các không gian metric bị chặn bởi 1 và các hàm ngắn.Nghĩa là, bất kì một hàm nào từ một không gian metric rời rạc sang một không gian metric bị chặn khác cũng liên tục Lipschitz, và bất kì một hàm nào từ một không gian metric rời rạc tới một không gian metric bị chặn bởi 1 cũng là hàm ngắn.

Đi theo hướng ngược lại, một hàm f từ một không gian topo Y sang một không gian rời rạc X là liên tục nếu và chỉ nếu nó là một hằng số địa phương theo nghĩa là mỗi điểm trong Y có một vùng xung quanh mà trên đó f là hằng số.